複素解析Iの講義スケジュール
後半のスケジュールは以下の通りです.尚, 7月15日(月)には講義が無く, 代わりにこの週には7月18日(木)に講義があることに注意してください.
6月3日 | 原始関数, Cauchyの積分公式と正則関数のregularity, Moreraの定理. |
6月10日 | ホモトピーや単連結性に関する補足と初等関数による写像その1, Riemannの写像定理 (紹介のみ) |
6月17日 | べき級数とTaylor/Maclaurin展開, 有理型関数とLaurent展開 |
6月24日 | 留数定理と留数積分 |
7月1日 | 初等関数による写像その2, 等角写像, 調和関数と境界値問題 |
7月8日 | 解析接続と最大値の原理, Liouvilleの定理 |
7月18日 | 偏角の原理, リーマン面 |
7月22日 | 無限乗積展開と部分分数展開 |
7月29日 | テスト |
参考: 本講義の前半で終えた内容
- 複素数とその演算の定義, 複素平面, 極座標表示, Riemann球面について.
- 複素微分可能性と正則性について (Cauchy-Riemann方程式と調和関数についてを含む).
- 複素平面の開集合のpathとJordan閉曲線, それらに沿っての (正則) 関数の線積分.
- Cauchy-Goursat の定理, 代数学の基本定理.
- 初等関数 (exp, sin, cos,...).
常微分方程式の講義スケジュール
後半のスケジュールは以下の通りです.尚, 7月15日(月)には講義が無く, 代わりにこの週には7月18日(木)に講義があることに注意してください.
6月3日 | 初等解法その6 - 高階の微分方程式について (リュウビルの微分方程式を含む). |
6月10日 | 定数係数線形微分方程式その1 - 同次2階の場合と微分演算子 (作用素)の扱い. |
6月17日 | 定数係数線形微分方程式その2, 3 - 同次高階の場合, 非同次2階の場合. |
6月24日 | 定数係数線形微分方程式その4 - 初期値問題について |
7月1日 | 変数係数線形微分方程式その1 - 同次2階の場合とロンスキアン, グリーンの公式 |
7月8日 | 変数係数線形微分方程式その2 - 非同次2階の場合と境界値問題 |
7月18日 | 変数係数線形微分方程式その3 - 高階の場合と連立微分方程式 |
7月22日 | 級数解法 |
7月29日 | テスト |
参考: 本講義の前半で終えた内容
- 常微分方程式とは何かと, それを解くとはどういうことかについて.
- 運動方程式などの幾つかの基本的な例.
- リプシッツ連続性を仮定した際のある種の初期条件付き微分方程式の解の存在と一意性 (コーシーの定理, その主張と証明).
- 正規型/非正規型という言葉と, 非正規型のときに起こる幾つかの現象 (特に"特異解"について).
- 初等解法その1 - 変数分離型のとき.
- 初等解法その2 - 同次型のときと, それに帰着できるとき.
- 初等解法その3 - 1階線形常微分方程式 (同次/非同次)と, それに帰着できるとき (ベルヌーイ型及びリッカチ型を含む), 及び定数変化法について.
- 初等解法その4 - 完全微分方程式 (幾つかの状況下での積分因子の求め方を含む).
- 初等解法その5 - 幾つかの特別な形の非正規型常微分方程式 (ダランベール/クレローの微分方程式).
最終更新日:2019年6月4日.
小池 貴之 (tkoike [at] sci.osaka-cu.ac.jp), 〒558-8585 大阪市住吉区杉本3-3-138 大阪市立大学 大学院理学研究科 数学教室.